Микрокономика Высшей Школы Экономики. Рынок факторов

Разберем некоторые задания из Problem Set 27-28 от 2019 года.

Problem set 27-28

Problem 1

Consider the case of a competitive firm whose production function is given by
𝑄 = 50𝐿 − 0,5𝐿2. Fixed costs is 1500, variable input price 𝑤 = 25, and output price 𝑝 = 2,5. What is the maximum of firm’s profit?

Как видим из условия, фирма является совершенным конкурентов на рынке товара и на рынке факторов производства. Что подтверждается тем фактом, что фирма получает цену на труд и на свой продукт (она задана).

Условие максимизации прибыли выглядит следующим образом: P*MPL=w

MPL=50-L

2,5(50-L)=25

Следовательно, L=40. Q=1200. Profit=2000

Problem 2

Suppose a monopoly producer is also a monopsonist in the labor market. Demand for the output is 𝑝 = 100 − 𝑄. The production function is 𝑄 = 𝐿, and the labor supply curve is
𝑤 = 10 + 𝐿. How much labor does the firm hire? What wage is paid?

Здесь фирма монополист на рынке товара и единственный наниматель труда (монопсония). Условие максимизации прибыли для двухсторонней монополии выглядит следующим образом: MR*MPL=MCL

Из функции спроса на труд следует и функции описывающей технологию, что w=10+Q

TCL=10Q+Q^2

MCL=10+2Q

MR=100-2Q

MPL=1

Таким образом: 100-2Q=10+2Q => Q=22,2=L

Отсюда уже не сложно найти заработную плату w и прибыль фирмы.

Problem 3

A firm uses a single input, labor, to produce output according to the production function 𝑄 = 8√𝐿. The output price is 𝑝 = 150 per unit and the wage rate is 𝑤 = 75 per hour.

(a) Find the profit-maximizing quantity of 𝐿, and 𝑄. What is the maximum profit?
(b) Suppose now that the firm is taxed 30 per unit of output and that the wage rate is subsidized at a rate of 15 per hour. Assume that the firm is a price taker, so the price of the product remains at 150. Find the new profit-maximizing levels of 𝐿, 𝑄, and profit.
(c) Now suppose that the firm is required to pay a 20% tax on its profits. Find the new profit-maximizing levels of 𝐿, 𝑄, and profit. Assume that the tax and subsidy in part (b) no longer apply.

Данная фирма — совершенный конкурент. Условие максимизации прибыли: P*MPL=w

Решается аналогично задаче 1. Здесь следует обсудить влияние налога на выпуск и дотацию к заработной плате. На мой взгляд, при данных условиях, фирма не может повлиять н цену на рынке и они будет продавать продукцию по цене 120-30=120. Заработная плата ей будет обходиться дешевле: 75-15=60. Забегая вперед, выпуск фирмы не изменится, она бдел выпускать 64 единицы товара и нанимать 64 работника.

Налог на прибыль не изменит точку равновесия фирмы. У нее просто уменьшится прибыль на 20%.

Problem 4

Assume that the industry is perfectly competitive and the all 1000 firms in this industry have the same production function 𝑞 = √𝐾𝐿. The market demand (output) is given by

𝑄𝐷 = 400000 − 100000𝑝. Input prices are 𝑤 = 1 and 𝑟 = 1
(a) What is the output price? What will be optimal levels of output and of labor units employed by single firm and industry in long-run equilibrium?
(b) Suppose now 𝑤 = 2, 𝑟 = 1. How much of labor would be employed by the industry in long-run equilibrium?
(c) Determine in general form equilibrium output price when input prices are given.
(d) Find out the impact of the change in 𝑤 on labour employment, i.e. calculate the substitution and output effects.

Поскольку здесь 2 фактора, мы моем воспользоваться условием равновесия фирмы: MPL/MPK=w/r

При равенстве ставки заработной платы и цены капитала, мы получим, что L=K. Таким образом, L=K=Q

Функция ТС=2Q => MC=2=P. При такой цене покупают 200000 единиц товара.

Поскольку на рынке 1000 фирм, то каждая производит 200 единиц. То есть Qi = 200. В состоянии долгосрочного равновесия каждая фирма нанимает по 200 единиц труда и капитала. Прибыль так же вычислить не сложно.

Если стоимость труда изменится, то изменится и пропорция замещения труда капиталом: K=2L. Далее рассуждения аналогичны.

Problem 5

Suppose demand for labor is given by 𝐿 = −50𝑤 + 450 and supply is given by 𝐿 = 100𝑤, where 𝐿 represents the number of people employed and 𝑤 is the real wage rate per hour. (a) What will be the equilibrium levels for 𝑤 and 𝐿 in this market?
(b) Suppose the government wishes to raise the equilibrium wage to 4 rub per hour by offering a subsidy to employers for each person hired. How much will this subsidy have to be? What will the new equilibrium level of employment be? How much total subsidy will be paid? Graph your results.

Problem 6

Consider a firm uses a single input, labor. Then assume this firm is a monopsonist produces and sells its output 𝑞 in a competitive market. Labor demand function is given by
𝐿 = 450 − 50𝑤. Labor supply function is 𝐿= 100𝑤.
What are the equilibrium level of employment and wage rate? How does your answer compare with the case of competitive labor market? Draw it on the graph.

Problem 7

The company is the only employer in the industry town. It can hire any number of female workers or male workers it wishes. Labor supply are given by 𝐿 = 100𝑤 and 𝐿 = 9𝑤2 ,

where 𝑤 and 𝑤 are wages for males and females, and 𝐿 and 𝐿 are the employments of 𝑚𝑓 𝑚𝑓

males and females respectively. Assume that the company sells output in a competitive marketat𝑝=5,andthat𝑀𝑃 =𝑀𝑃 =2.

𝑚𝑓

(a) If the company is to maximize profits, how many males and females it will employ? What will the wage level paid to employees be? What will the profit be?
(b) Now suppose the company is forced to pay for both men and women wages equal to the value of their marginal products. What are the number of men and women employed? How about a profit in this case?